Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня из произведения и степени. Напомним, что корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при условии, что множители неотрицательны).

1) Сначала упростим подкоренное выражение, извлекая корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot x^{6} \cdot y^{4}} = \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot \sqrt{x^{6}} \cdot \sqrt{y^{4}}$

2) Вычислим значение каждого корня:
— $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$, так как $(\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{25}$;
— $\sqrt{x^{6}} = |x^{3}|$. Так как в итоговом выражении мы будем возводить число в четную степень или работать с положительными числами, для упрощения запишем $x^{3}$;
— $\sqrt{y^{4}} = y^{2}$, так как $(y^{2})^{2} = y^{4}$.

3) Таким образом, наше выражение приняло вид:
$\frac{1}{5} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$

4) Подставим данные по условию значения переменных $x = 5$ и $y = 2$ в полученное упрощенное выражение:
$\frac{1}{5} \cdot 5^{3} \cdot 2^{2}$

5) Выполним вычисления:
— Заметим, что $\frac{1}{5} \cdot 5^{3} = 5^{3-1} = 5^{2} = 25$;
— Возведем $y$ в квадрат: $2^{2} = 4$;
— Перемножим результаты: $25 \cdot 4 = 100$.

Ответ: 100

Источник: ФИПИ