Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону $a$:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

2. Подставим известное значение стороны $a = 12 \sqrt{3}$ в эту формулу:
$h = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$.
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$.

4. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$.

Замечание: Также можно воспользоваться прямой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.
$r = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12 \cdot 3}{6} = \frac{36}{6} = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ