Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$. По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки, соединяющие точку пересечения диагоналей с вершинами прямоугольника, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами его диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным. Углы при его основании — это углы между диагональю и стороной прямоугольника.

3) По условию задачи, диагональ образует с одной из сторон угол $86^\circ$. Заметим, что в прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) сумма острых углов равна $90^\circ$. Если один угол равен $86^\circ$, то второй угол между диагональю и другой стороной будет равен $90^\circ - 86^\circ = 4^\circ$.

4) Теперь найдем углы между диагоналями. В равнобедренном треугольнике, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей, углы при основании могут быть либо по $86^\circ$, либо по $4^\circ$.
Если углы при основании равны $4^\circ$, то угол при вершине (угол между диагоналями) равен:
$180^\circ - (4^\circ + 4^\circ) = 180^\circ - 8^\circ = 172^\circ$.
Этот угол является тупым.

5) Смежный с ним угол будет острым углом между диагоналями. Его можно найти как:
$180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.
Также этот угол можно было найти, рассмотрев другой равнобедренный треугольник (со сторонами-половинами диагоналей), где углы при основании равны по $86^\circ$. Тогда угол при вершине равен:
$180^\circ - (86^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

6) Так как в задаче требуется найти именно острый угол, выбираем значение $8^\circ$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ