Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника. Высота в таком треугольнике вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 10\sqrt{3}$ в эту формулу:
$h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет ровно $\frac{1}{3}$ часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3}h$

4. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Подставив значения, получим тот же результат:
$r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ