Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Сторона равностороннего треугольника равна $10 \sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника. Высота в таком треугольнике вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 10\sqrt{3}$ в эту формулу:
$h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ , получаем:
$h = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$ , считая от вершины.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет ровно $\frac{1}{3}$ часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3}h$

4. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ .
Подставив значения, получим тот же результат:
$r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{10}{2} = 5$ .

Ответ: 5

Источник: ФИПИ