Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника.

1. Пусть $a$ — длина стороны равностороннего треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. По условию задачи $r = 9\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, связывающую радиус вписанной окружности со стороной правильного треугольника:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

3. Из этой формулы мы можем выразить сторону $a$. Для этого умножим обе части уравнения на $6$:
$6r = a\sqrt{3}$,
откуда $a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$.

4. Подставим известное значение радиуса $r = 9\sqrt{3}$ в полученное выражение:
$a = \frac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

5. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$a = 6 \cdot 9$,
$a = 54$.

Таким образом, сторона треугольника равна $54$.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ