Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC = 4$ — меньшее основание, $AD = 7$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и нижним основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $\angle CHA = 90^\circ$). Так как $\angle CAH = 45^\circ$, то второй острый угол этого треугольника $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $CH = AH$. Таким образом, высота трапеции $h$ равна отрезку $AH$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — их полуразности.

3) Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2}$
$AH = \frac{7 + 4}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.

4) Так как мы ранее установили, что высота трапеции $CH$ равна отрезку $AH$, то:
$CH = 5,5$.

Ответ: 5,5

Источник: ФИПИ