Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним свойства ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

2) По условию диагонали равны $12$ и $16$. Пусть $AC = 16$, а $BD = 12$. Тогда половины диагоналей равны:
$AO = AC : 2 = 16 : 2 = 8$,
$BO = BD : 2 = 12 : 2 = 6$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB = 90^\circ$). Найдем сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.

4) Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это связано с тем, что центр вписанной окружности ромба лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне.

5) Высоту $h$ в прямоугольном треугольнике можно найти через его площадь или по формуле:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$
Подставим значения:
$r = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$.

Ответ: 4,8

Источник: ФИПИ