Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $32^{\circ}$. На рисунке этот угол отмечен между $OH$ и горизонтальной диагональю $AC$, то есть $\angle HOC = 32^{\circ}$.

2) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что $\angle BOC = 90^{\circ}$. Так как точка $H$ лежит на стороне $AB$, рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$, где $\angle AOB = 90^{\circ}$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (так как $OH \perp AB$, то $\angle OHA = 90^{\circ}$). В этом треугольнике сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Нам нужно найти угол $OAH$, который является частью угла ромба.

4) Заметим, что $\angle HOA$ и $\angle HOC$ в сумме составляют угол между диагоналями, если рассматривать их как смежные углы вдоль прямой, но в данном случае удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник $BOH$. Однако, проще всего воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике $AOB$ высота $OH$, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол $AOB$ на два угла, каждый из которых дополняет соответствующий острый угол треугольника до $90^{\circ}$.

5) Из рисунка и свойств перпендикуляра видно, что в прямоугольном треугольнике $AOH$:
$\angle OAH = 90^{\circ} - \angle AOH$.
Так как диагонали ромба перпендикулярны, $\angle AOC$ — это развёрнутый угол (если рассматривать диагональ целиком), но в контексте треугольника $AOB$ мы видим, что $\angle AOH = 90^{\circ} - \angle HOB$.
Более простой путь: в прямоугольном треугольнике $AOH$ угол $\angle OAH$ и угол $\angle AOH$ дают в сумме $90^{\circ}$. Угол $\angle AOH$ дополняет угол $\angle HOC$ до $90^{\circ}$ (так как диагонали $AC \perp BD$). Значит, $\angle OAH = \angle HOC = 32^{\circ}$.

6) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам. Следовательно, весь угол $A$ ромба равен:
$32^{\circ} \cdot 2 = 64^{\circ}$.

7) Проверим, является ли этот угол острым. Так как $64^{\circ} < 90^{\circ}$, то это и есть искомый острый угол ромба.

Ответ: 64

Источник: ФИПИ