Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Пусть $AC$ — его диагональ. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $0,8$. Пусть это будет угол $\angle CAD$, тогда $\sin \angle CAD = 0,8$.

2. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а сама диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности. По условию диаметр равен $5$, следовательно, диагональ $AC = 5$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$). В нём гипотенуза $AC = 5$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$.
Отсюда выразим сторону $CD$:
$CD = AC \cdot \sin \angle CAD = 5 \cdot 0,8 = 4$.

4. Теперь найдём вторую сторону прямоугольника $AD$. По теореме Пифагора для треугольника $ACD$:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$;
$AD^2 + 4^2 = 5^2$;
$AD^2 + 16 = 25$;
$AD^2 = 25 - 16 = 9$;
$AD = \sqrt{9} = 3$.

5. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD = 3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ