Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$, а все углы прямые ($90^\circ$).

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. В нём угол $D$ равен $90^\circ$, так как это угол квадрата. Катетами треугольника являются сторона квадрата $A D = a$ и отрезок $O D = \frac{a}{2}$. Гипотенузой является отрезок $A O$.

4. Отрезок $A O$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. Значит, $A O$ — это радиус окружности. По условию радиус равен 2, то есть $A O = 2$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$: $A D^2 + O D^2 = A O^2$. Подставим известные значения через $a$: $a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = 2^2$.

6. Решим полученное уравнение: $a^2 + \frac{a^2}{4} = 4$. Приведём к общему знаменателю: $\frac{4a^2 + a^2}{4} = 4$, $\frac{5a^2}{4} = 4$.

7. Выразим $a^2$: $5a^2 = 4 \cdot 4$, $5a^2 = 16$, $a^2 = \frac{16}{5}$.

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли значение $a^2$: $S = \frac{16}{5} = 3.2$.

Ответ: 3.2

Источник: ФИПИ