Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшается на одно и то же число. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Выпишем известные данные:
1) Первый член прогрессии $a_1 = 20$ (расстояние за первую секунду).
2) Разность прогрессии $d = -4$, так как за каждую следующую секунду автомобиль проезжает на 4 метра меньше.
3) Автомобиль движется до полной остановки. Это значит, что в последнюю секунду движения он проедет какое-то положительное расстояние, а затем его скорость станет равной нулю. Найдём количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался.

Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$.
Так как расстояние не может быть отрицательным, должно выполняться условие $a_n > 0$. Найдём последний положительный член последовательности:
$20 + (-4)(n - 1) > 0$
$20 - 4n + 4 > 0$
$24 - 4n > 0$
$4n < 24$
$n < 6$

Это означает, что автомобиль активно тормозил 5 полных секунд, а на 6-ю секунду его скорость (и пройденный путь) стала бы равной нулю: $a_6 = 20 - 4(6 - 1) = 20 - 20 = 0$. Таким образом, движение происходило в течение 5 секунд (на 6-й секунде перемещение уже равно 0).

Найдём общее расстояние как сумму первых 5 членов арифметической прогрессии по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим значения $a_1 = 20$, $d = -4$ и $n = 5$:
$S_5 = \frac{2 \cdot 20 + (-4)(5 - 1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{40 - 4 \cdot 4}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{40 - 16}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{24}{2} \cdot 5$
$S_5 = 12 \cdot 5 = 60$

Следовательно, до полной остановки автомобиль прошёл 60 метров.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ