Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $38^{\circ}$. Пусть $\angle HOB = 38^{\circ}$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (угол $H$ равен $90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдём угол $HBO$:
$\angle HBO = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ}$.

3) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Следовательно, весь угол $B$ ромба равен:
$\angle B = 2 \cdot \angle HBO = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$.

4) Мы нашли один из углов ромба, он оказался тупым ($104^{\circ} > 90^{\circ}$). Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ}$. Найдём острый угол ромба (угол $A$):
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$.

5) Проверим второй случай: если бы угол $38^{\circ}$ был дан между перпендикуляром и другой диагональю ($\angle HOA = 38^{\circ}$). Тогда в треугольнике $AOH$:
$\angle HAO = 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ}$.
Тогда весь угол $A = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$ (тупой), а соседний острый угол был бы $180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$. Результат не меняется.

Ответ: 76

Источник: ФИПИ