Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи трапеция $A B C D$ является равнобедренной ($A B = C D$). Одно из главных свойств равнобедренной трапеции заключается в том, что углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при нижнем основании $A$ равен углу при нижнем основании $D$:
$\angle B A D = \angle D = 69^{\circ}$.

2) Угол $B A D$ состоит из двух частей: угла $B A C$ и угла $C A D$. По условию задачи диагональ $A C$ образует с боковой стороной $A B$ угол $25^{\circ}$, то есть $\angle B A C = 25^{\circ}$.
Зная весь угол $B A D$ и его часть $B A C$, мы можем найти вторую часть — угол между диагональю и бóльшим основанием $A D$:
$\angle C A D = \angle B A D - \angle B A C = 69^{\circ} - 25^{\circ} = 44^{\circ}$.

3) Основания трапеции $B C$ и $A D$ параллельны по определению. Диагональ $A C$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Угол между диагональю и меньшим основанием ($\angle B C A$) и угол между диагональю и бóльшим основанием ($\angle C A D$) являются накрест лежащими.
Следовательно, $\angle B C A = \angle C A D = 44^{\circ}$.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ