Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и параллельных прямых.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$. По условию задачи основаниями являются $AD$ и $BC$, а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны. Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны, следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle A = \angle D = 80^\circ$.

2) Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как это внутренние односторонние углы при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне). Найдём угол $BCD$:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

3) По условию диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $70^\circ$. Это значит, что $\angle ACD = 70^\circ$.

4) Угол $BCD$ состоит из двух углов: искомого угла между диагональю и меньшим основанием ($\angle BCA$) и угла между диагональю и боковой стороной ($\angle ACD$). Запишем это равенство:
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.

5) Подставим известные значения в уравнение:
$100^\circ = \angle BCA + 70^\circ$.
Отсюда находим искомый угол:
$\angle BCA = 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ$.

Примечание: Этот же результат можно получить, рассмотрев треугольник $ACD$. Сумма его углов равна $180^\circ$, тогда $\angle CAD = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны, то есть $\angle BCA = 30^\circ$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ