Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи нам дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее основание. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Значит, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle A = \angle D = 67^{\circ}$.

2) Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, так как основания $BC$ и $AD$ параллельны. Рассмотрим боковую сторону $CD$. Сумма углов $C$ и $D$ составляет:
$\angle BCD + \angle D = 180^{\circ}$.
Отсюда находим тупой угол трапеции $\angle BCD$:
$\angle BCD = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}$.

3) Нам известно, что диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $72^{\circ}$. То есть $\angle ACD = 72^{\circ}$.
Весь угол $BCD$ состоит из двух частей: искомого угла $\angle BCA$ (между диагональю и меньшим основанием) и угла $\angle ACD$.
Следовательно:
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.

4) Выразим и найдем искомый угол $\angle BCA$:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD$
$\angle BCA = 113^{\circ} - 72^{\circ} = 41^{\circ}$.

Ответ: 41

Источник: ФИПИ