Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи вспомним основные свойства ромба:

1. У ромба все стороны равны.

2. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (то есть делят углы пополам).

4. Меньшая диагональ ромба лежит против его острого угла, а большая — против тупого. Однако, если мы проведём диагональ, соединяющую вершины тупых углов, она будет меньшей диагональю. Именно такая ситуация изображена на рисунке: диагональ соединяет вершины тупых углов, образуя треугольник со сторонами ромба.

Шаг 1. Найдём тупой угол ромба. Так как сумма острого и тупого углов ромба равна $180^{\circ}$, а острый угол по условию равен $74^{\circ}$, то тупой угол равен:
$180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$.

Шаг 2. Нам нужно найти угол между стороной и меньшей диагональю. Меньшая диагональ выходит из вершины тупого угла и является его биссектрисой. Значит, искомый угол равен половине тупого угла ромба:

$106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$.

Проверка: Если рассмотреть треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, то он является равнобедренным (так как стороны ромба равны). Углы при основании этого треугольника (между сторонами и диагональю) равны. Угол при вершине этого треугольника — это острый угол ромба $74^{\circ}$. Тогда углы при основании равны $(180^{\circ} - 74^{\circ}) : 2 = 106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$.

Ответ: 53

Источник: ФИПИ