Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и его диагоналей.

1) Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Нам даны длины диагоналей: $d_1 = 8$ и $d_2 = 6$. По свойству ромба диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, в прямоугольном треугольнике $AOB$ катеты равны:
$AO = \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$,
$BO = \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

2) Найдем сторону ромба $a$ (гипотенузу $AB$) по теореме Пифагора:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AB = \sqrt{25} = 5$.

3) Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это объясняется тем, что центр вписанной окружности ромба лежит в точке пересечения его диагоналей, а сама окружность касается сторон ромба.

4) Высоту прямоугольного треугольника можно найти через его площадь или по формуле:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$
Подставим значения:
$r = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$.

Ответ: 2,4

Источник: ФИПИ