Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи вспомним основные свойства ромба:

1. У ромба все стороны равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^{\circ}$.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Шаг 1. Найдём тупой угол ромба.
По условию острый угол ромба равен $36^{\circ}$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$, то тупой угол ромба равен:
$180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$.

Шаг 2. Определим положение меньшей диагонали.
Меньшая диагональ ромба всегда лежит напротив острого угла, а большая — напротив тупого. Однако в данной задаче нас просят найти угол между стороной и меньшей диагональю. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов ромба.

Шаг 3. Вычислим искомый угол.
Поскольку диагональ ромба является биссектрисой его угла, она делит тупой угол пополам. Угол между стороной и меньшей диагональю будет равен половине тупого угла:
$144^{\circ} : 2 = 72^{\circ}$.

Проверка:
Если мы рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, то это равнобедренный треугольник с углом при вершине $36^{\circ}$. Углы при основании (которые и являются углами между стороной и диагональю) равны $(180^{\circ} - 36^{\circ}) : 2 = 144^{\circ} : 2 = 72^{\circ}$. Всё верно.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ