Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции. По условию трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB = CD$). Одно из главных свойств такой трапеции заключается в том, что углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при основании $AD$ равен углу $D$:
$\angle A = \angle D = 83^{\circ}$.

2) Угол $A$ трапеции состоит из двух частей: угла $BAC$, образованного боковой стороной и диагональю, и угла $CAD$, образованного диагональю и большим основанием. По условию $\angle BAC = 37^{\circ}$. Найдём угол $CAD$:
$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 83^{\circ} - 37^{\circ} = 46^{\circ}$.

3) Теперь вспомним свойство параллельных прямых. Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых.
Углы $BCA$ и $CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. По теореме о накрест лежащих углах:
$\angle BCA = \angle CAD$.

4) Таким образом, угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ равен:
$\angle BCA = 46^{\circ}$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ