Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором диагонали пересекаются в точке $O$. По условию одна из диагоналей $AC = 24$, а сторона ромба $AB = 15$.

1) Вспомним свойства ромба: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$).
Найдём катет $AO$:
$AO = AC : 2 = 24 : 2 = 12$.

2) В прямоугольном треугольнике $AOB$ нам известны гипотенуза $AB = 15$ и катет $AO = 12$. Найдём второй катет $BO$ по теореме Пифагора:
$BO^2 = AB^2 - AO^2$
$BO^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
$BO = \sqrt{81} = 9$.

3) Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведённой из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это связано с тем, что точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, а расстояние от центра до стороны — это и есть радиус.

4) Высоту $h$ в прямоугольном треугольнике, проведённую к гипотенузе, можно найти через площадь или по формуле:
$h = \frac{AO \cdot BO}{AB}$.
Подставим наши значения:
$r = \frac{12 \cdot 9}{15}$.

5) Выполним вычисления:
$r = \frac{108}{15}$.
Разделим числитель на знаменатель:
$108 : 15 = 7,2$.

Ответ: 7,2

Источник: ФИПИ