Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне ромба $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $34^{\circ}$. Пусть $\angle HOB = 34^{\circ}$.

2) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что $\angle AOB = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (где $\angle OHB = 90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдём угол $OBH$:
$\angle OBH = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$.

4) Угол $OBH$ — это то же самое, что угол $OBA$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Тогда весь угол $B$ ромба равен:
$\angle B = 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot 56^{\circ} = 112^{\circ}$.

5) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Найдём второй угол ромба (угол $A$):
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$.

6) Сравним полученные углы: $112^{\circ}$ и $68^{\circ}$. Так как $68^{\circ} < 112^{\circ}$, то острым углом ромба является угол, равный $68^{\circ}$.

Ответ: 68

Источник: ФИПИ