Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$. Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $0{,}8$. Пусть это будет угол $\angle CAD$, тогда $\sin \angle CAD = 0{,}8$.

2) Вспомним важное свойство: около любого прямоугольника можно описать окружность, причём её центром является точка пересечения диагоналей, а сами диагонали являются диаметрами этой окружности. По условию диаметр окружности равен $10$, следовательно, диагональ прямоугольника $AC = 10$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $AC = 10$. По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$.
Подставим известные значения:
$0{,}8 = \frac{CD}{10}$, откуда сторона $CD = 10 \cdot 0{,}8 = 8$.

4) Теперь найдём вторую сторону прямоугольника $AD$. Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора для треугольника $ACD$:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
$AD^2 + 8^2 = 10^2$
$AD^2 + 64 = 100$
$AD^2 = 100 - 64 = 36$
$AD = \sqrt{36} = 6$.

5) Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD$
$S = 6 \cdot 8 = 48$.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ