Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$. Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $\frac{8}{17}$. Пусть это будет угол $\angle CAD$, тогда $\sin \angle CAD = \frac{8}{17}$.

2) Вспомним свойство описанной около прямоугольника окружности: её центр лежит в точке пересечения диагоналей, а диаметр этой окружности равен диагонали прямоугольника. Следовательно, диагональ $AC = 34$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$). По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{8}{17} = \frac{CD}{34}$.
Отсюда находим сторону $CD$:
$CD = \frac{8 \cdot 34}{17} = 8 \cdot 2 = 16$.

4) Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AD$. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ACD$:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$.
$AD^2 + 16^2 = 34^2$.
$AD^2 + 256 = 1156$.
$AD^2 = 1156 - 256$.
$AD^2 = 900$.
$AD = \sqrt{900} = 30$.

5) Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD$.
$S = 30 \cdot 16 = 480$.

Ответ: 480

Источник: ФИПИ