Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства ромба. У ромба противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$. По условию один из углов ромба равен $138^{\circ}$. Так как этот угол тупой, то второй угол ромба (острый) будет равен:
$180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$.

2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. Следовательно, она делит острый угол ромба пополам. Угол между этой диагональю и стороной ромба равен:
$42^{\circ} : 2 = 21^{\circ}$.

3) На рисунке изображена высота ромба, проведенная из вершины тупого угла к стороне, и большая диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью стороны ромба и отрезком диагонали. Однако проще рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов — это угол между диагональю и стороной (который мы нашли, $21^{\circ}$), а второй острый угол — это искомый угол между высотой и диагональю.

4) Так как высота перпендикулярна стороне ромба, она образует с ней угол $90^{\circ}$. Искомый угол между высотой и диагональю дополняет угол между диагональю и стороной до $90^{\circ}$ (так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^{\circ}$):
$90^{\circ} - 21^{\circ} = 69^{\circ}$.

Ответ: 69

Источник: ФИПИ