Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дан ромб $ABCD$, в котором диагонали пересекаются в точке $O$. Обозначим диагонали как $d_1 = 36$ и $d_2 = 48$. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$, образованный половинами диагоналей. Его катеты равны:
$AO = \frac{d_1}{2} = \frac{36}{2} = 18$;
$BO = \frac{d_2}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

3. Найдем гипотенузу $AB$ (сторону ромба) по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$.

4. Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $ABO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это связано с тем, что центр вписанной окружности ромба лежит в точке пересечения его диагоналей, а сама окружность касается сторон ромба.

5. Высоту $h$ в прямоугольном треугольнике можно найти через его площадь или по формуле:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$.

6. Подставим известные значения:
$r = \frac{18 \cdot 24}{30}$.
Сократим дробь на 6:
$r = \frac{18 \cdot 4}{5} = \frac{72}{5} = 14,4$.

Ответ: 14,4

Источник: ФИПИ