Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим свойства ромба и данные задачи по шагам.

1) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Обозначим одну из сторон ромба как $AB$, а перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к этой стороне, как $OH$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $29^{\circ}$. Пусть это будет угол $HOC = 29^{\circ}$, где $OC$ — часть диагонали ромба.

2) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что угол между диагоналями равен $90^{\circ}$. Если мы рассмотрим треугольник $COH$, то он является прямоугольным, так как $OH$ — перпендикуляр к стороне (угол $OHC = 90^{\circ}$).

3) Найдём угол $OCH$. В прямоугольном треугольнике $COH$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Следовательно:
$\angle OCH = 90^{\circ} - \angle HOC = 90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ}$.

4) Угол $OCH$ — это угол между диагональю и стороной ромба. Мы знаем, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, целый угол ромба (пусть это будет угол $C$) в два раза больше угла $OCH$:
$\angle C = 61^{\circ} \cdot 2 = 122^{\circ}$. Это тупой угол ромба.

5) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Чтобы найти острый угол ромба, нужно из $180^{\circ}$ вычесть найденный тупой угол:
$180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$.

Замечание: Если бы мы изначально предположили, что угол $29^{\circ}$ образован перпендикуляром с другой диагональю, мы бы сразу получили половину острого угла ромба ($90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ}$ — это не подходит для половины острого угла, так как тогда угол был бы $122^{\circ}$). В прямоугольном треугольнике, образованном стороной и половинами диагоналей, острые углы в сумме дают $90^{\circ}$. Если один из них $90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ}$, то второй равен $29^{\circ}$. Тогда острый угол ромба равен $29^{\circ} \cdot 2 = 58^{\circ}$.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ