Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства ромба. У ромба противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$. По условию один из углов ромба равен $142^{\circ}$. Так как этот угол тупой, то второй (острый) угол ромба равен:
$180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ}$.

2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. Значит, она делит острый угол $38^{\circ}$ пополам:
$38^{\circ} : 2 = 19^{\circ}$.

3) На рисунке изображена высота ромба, проведенная из вершины тупого угла к стороне, и большая диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью стороны ромба и отрезком диагонали. Однако проще рассмотреть треугольник, образованный высотой, диагональю и вершиной ромба.

4) Пусть $H$ — точка пересечения высоты со стороной ромба. Высота образует со стороной угол $90^{\circ}$. Мы уже выяснили, что угол между стороной ромба и большой диагональю равен $19^{\circ}$.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов — это угол между диагональю и стороной ($19^{\circ}$), а второй острый угол — это искомый угол между высотой и диагональю. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, искомый угол равен:
$90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}$.

Ответ: 71

Источник: ФИПИ