Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. По условию задачи эта высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что отрезок $HD$ является меньшим из них, значит, $HD = 2$, а отрезок $AH = 6$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают от него равные прямоугольные треугольники ($\triangle ABK = \triangle DCH$ по гипотенузе и острому углу). Следовательно, отрезки $AK$ и $HD$ равны между собой:
$AK = HD = 2$.

3) Рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. Мы можем найти длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 6 - 2 = 4$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (основания трапеции), а $BK$ и $CH$ — перпендикуляры к $AD$. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ