Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $41^{\circ}$. Пусть $\angle HOB = 41^{\circ}$.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (угол $H$ прямой, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Найдём угол $HBO$:
$\angle HBO = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 41^{\circ} = 49^{\circ}$.

2) Угол $HBO$ — это то же самое, что угол $ABO$. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Следовательно:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 49^{\circ} = 98^{\circ}$.

3) Мы нашли один из углов ромба. Найдём соседний с ним угол (угол $A$). Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$:
$\angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ}$.

4) Сравним полученные углы: $98^{\circ}$ и $82^{\circ}$. Так как в задаче требуется найти острый угол ромба (угол, который меньше $90^{\circ}$), выбираем $82^{\circ}$.

Ответ: 82

Источник: ФИПИ