Задание 17

Четырёхугольники и многоугольники · 357 заданий

Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Сторона квадрата равна 11 √(2). Найдите диагональ этого квадрата.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники

Задание №17 — Геометрия

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $41 \circ$ . Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$ . По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $41^{\circ}$ . Пусть $\angle HOB = 41^{\circ}$ .

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (угол $H$ прямой, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$ . Найдём угол $HBO$ :
$\angle HBO = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 41^{\circ} = 49^{\circ}$ .

2) Угол $HBO$ — это то же самое, что угол $ABO$ . В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Следовательно:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 49^{\circ} = 98^{\circ}$ .

3) Мы нашли один из углов ромба. Найдём соседний с ним угол (угол $A$ ). Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$ :
$\angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ}$ .

4) Сравним полученные углы: $98^{\circ}$ и $82^{\circ}$ . Так как в задаче требуется найти острый угол ромба (угол, который меньше $90^{\circ}$ ), выбираем $82^{\circ}$ .

Ответ: 82

Источник: ФИПИ