Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. По условию $BC = 4$, $AD = 8$. Проведём диагональ $AC$. Угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Проведём высоту трапеции $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $\angle CHA = 90^\circ$.

2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — полуразности оснований. Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

3) Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $ACH$. Нам известно, что $\angle CAD = 45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4) Поскольку в треугольнике $ACH$ два угла равны ($\angle CAH = \angle ACH = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $CH = AH$.

5) Так как $AH = 6$, то и высота трапеции $CH = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ