Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $36^{\circ}$. На рисунке этот угол отмечен между $OH$ и диагональю $AC$, то есть $\angle HOC = 36^{\circ}$.

2) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что $\angle AOB = 90^{\circ}$. Следовательно, угол $AOC$ является развёрнутым ($180^{\circ}$), а диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $\angle AOB = 90^{\circ}$. Угол $\angle HOC$ и угол $\angle AOH$ в сумме дают угол $\angle AOC$, но нам удобнее рассмотреть их связь через прямой угол. Поскольку $OH$ — перпендикуляр к стороне, рассмотрим треугольник $AOH$, где $\angle OHA = 90^{\circ}$.

4) Из рисунка видно, что $\angle AOH = \angle AOC - \angle HOC = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$ (так как диагонали образуют прямой угол, и перпендикуляр проведён внутри одного из этих углов). Однако проще рассмотреть треугольник $OHB$ или воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике $AOH$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$.

5) Найдём угол $\angle OAH$ (он же $\angle OAB$). В прямоугольном треугольнике $AOH$:
$\angle OAB = 90^{\circ} - \angle AOH$.
Так как $\angle AOH = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$ (если рассматривать угол с вертикальной диагональю), то $\angle OAB = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$.
Или, глядя на чертёж: в прямоугольном треугольнике, образованном высотой $OH$, угол $\angle OAB$ дополняет угол $\angle AOH$ до $90^{\circ}$. Угол между перпендикуляром и диагональю ($36^{\circ}$) и угол $\angle OAB$ являются острыми углами прямоугольного треугольника с общей вершиной, если рассматривать дополняющие углы. В треугольнике $AOH$ угол $\angle OAH = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 36^{\circ}) = 36^{\circ}$.

6) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, острый угол ромба (угол $A$) в два раза больше угла $\angle OAB$:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.

7) Проверим: если острый угол $72^{\circ}$, то его половина $36^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, острые углы равны $36^{\circ}$ и $54^{\circ}$. Перпендикуляр к гипотенузе (стороне ромба) образует с катетами (диагоналями) углы, равные этим же острым углам ($54^{\circ}$ и $36^{\circ}$). Это соответствует условию задачи.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ