Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим свойства ромба и его элементов, чтобы найти искомый угол.

1) Пусть дан ромб $ABCD$. По условию один из его углов равен $110^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, то второй угол ромба равен:
$180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
Таким образом, у ромба два тупых угла по $110^{\circ}$ и два острых угла по $70^{\circ}$.

2) На рисунке изображена большая диагональ ромба. Известно, что большая диагональ соединяет вершины острых углов. Значит, она выходит из угла, равного $70^{\circ}$.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, большая диагональ делит угол $70^{\circ}$ пополам:
$70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ромба, частью стороны и частью диагонали (или воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, который отсекает высота).
Высота ромба перпендикулярна его стороне. Обозначим искомый угол между высотой и диагональю как $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов — это угол между диагональю и стороной (который мы нашли и он равен $35^{\circ}$), сумма острых углов равна $90^{\circ}$.

4) Тогда искомый угол $\alpha$ равен:
$90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$.

Ответ: 55

Источник: ФИПИ