Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и параллельных прямых.

1) По условию трапеция $ABCD$ является равнобедренной с основаниями $AD$ и $BC$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle A = \angle D = 61^{\circ}$.

2) Также известно, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$ (так как это внутренние односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$). Найдём величину угла $BCD$:
$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$.

3) По условию диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^{\circ}$, то есть $\angle ACD = 81^{\circ}$. Угол $BCD$ состоит из двух углов: искомого угла между диагональю и меньшим основанием ($\angle BCA$) и угла $\angle ACD$.
Тогда:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD$.

4) Подставим известные значения:
$\angle BCA = 119^{\circ} - 81^{\circ} = 38^{\circ}$.

Таким образом, угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ составляет $38^{\circ}$.

Ответ: 38

Источник: ФИПИ