Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC = 4$ — меньшее основание, $AD = 9$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $\angle CHA = 90^\circ$).

2. В треугольнике $ACH$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как $\angle CAH = 45^\circ$, то второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = AH$. Заметим, что $CH$ — это и есть искомая высота трапеции.

3. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — полуразности оснований.
Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD + BC}{2}$

4. Подставим известные значения оснований: $AH = \frac{9 + 4}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$

5. Так как мы ранее установили, что высота $CH$ равна отрезку $AH$, то: $CH = 6,5$

Ответ: 6,5

Источник: ФИПИ