Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи диагонали равны $AC = 16$ и $BD = 12$.

1) Вспомним свойства ромба: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$), а его катеты равны:
$AO = AC : 2 = 16 : 2 = 8$,
$BO = BD : 2 = 12 : 2 = 6$.

2) Найдем гипотенузу $AB$ (сторону ромба) по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

3) Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это объясняется тем, что точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, а расстояние от центра до стороны — это и есть радиус.

4) Высоту прямоугольного треугольника можно найти через его площадь или по формуле:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$.
Подставим известные значения:
$r = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$.

Ответ: 4,8

Источник: ФИПИ