Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором диагонали $AC = 8$ и $BD = 6$. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам.

2) Найдём длины отрезков $AO$ и $BO$:
$AO = AC : 2 = 8 : 2 = 4$;
$BO = BD : 2 = 6 : 2 = 3$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём сторону ромба $AB$:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$;
$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$;
$AB = \sqrt{25} = 5$.

4) Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведённой из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это связано с тем, что точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, а расстояние от центра до стороны — это и есть радиус.

5) Высоту $r$ в прямоугольном треугольнике можно найти через его площадь или по формуле: произведение катетов, делённое на гипотенузу:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$;
$r = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$.

Ответ: 2,4

Источник: ФИПИ