Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к правому углу, следовательно, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 6$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это значит, что отрезки, прилежащие к боковым сторонам, равны: $AK = HD$.

3) Отрезок $AH$, длина которого по условию равна $6$, состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. Так как $AK = HD = 3$, мы можем найти длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 6 - 3 = 3$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 3$.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно $3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ