Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и определением тангенса в прямоугольном треугольнике.

1) Проведём вторую диагональ ромба $B D$. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D$. По свойствам ромба:
— диагонали перпендикулярны ($A C \perp B D$);
— диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2) Так как точка $O$ делит диагональ $A C$ пополам, то отрезок $O C$ равен:
$O C = \frac{A C}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $B O C$ (угол $O$ равен $90^{\circ}$). В этом треугольнике угол $B C A$ — это тот же самый угол, что и $B C O$. По определению тангенса:
$tg \angle B C O = \frac{B O}{O C}$.

4) Подставим известные значения в формулу тангенса:
$0,5 = \frac{B O}{4}$.
Отсюда находим половину второй диагонали:
$B O = 4 \cdot 0,5 = 2$.

5) Так как точка $O$ — середина диагонали $B D$, то вся диагональ $B D$ равна:
$B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 2 = 4$.

6) Площадь ромба $S$ вычисляется как половина произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D$.
Подставляем значения диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ