Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции $ABCD$. По условию трапеция равнобедренная, значит, углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle BAD = \angle D = 76^\circ$.

2) Нам известно, что диагональ $AC$ делит угол $A$ на две части. Одна из этих частей — угол $BAC$, который по условию равен $21^\circ$. Найдём вторую часть угла $A$, то есть угол $CAD$:
$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 76^\circ - 21^\circ = 55^\circ$.

3) Теперь обратим внимание на параллельные прямые. Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых.

4) Угол между диагональю и меньшим основанием — это угол $BCA$. Углы $BCA$ и $CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 55^\circ$.

Таким образом, искомый угол между диагональю и меньшим основанием равен $55^\circ$.

Ответ: 55

Источник: ФИПИ