Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дан ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию одна из диагоналей равна $32$, а вторая — $24$. Пусть $AC = 32$, а $BD = 24$.

2. Вспомним свойства ромба:
— Диагонали ромба перпендикулярны ($AC \perp BD$).
— Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AOB$ катеты равны:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$;
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

3. Найдем сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора из треугольника $AOB$:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
$AB = \sqrt{400} = 20$.

4. Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$. Это объясняется тем, что центр вписанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а сама окружность касается сторон ромба.

5. Высоту $h$ (которая и есть наш радиус $r$) в прямоугольном треугольнике можно найти через его площадь или по формуле:
$r = \frac{AO \cdot BO}{AB}$
Подставим значения:
$r = \frac{16 \cdot 12}{20} = \frac{192}{20}$.

6. Выполним деление:
$r = 9,6$.

Ответ: 9,6

Источник: ФИПИ