Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне ромба $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $28^{\circ}$. Пусть это будет угол $AOH$, то есть $\angle AOH = 28^{\circ}$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H$ равен $90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдём угол $OAH$:
$\angle OAH = 90^{\circ} - \angle AOH = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$.

3) Угол $OAH$ — это часть угла ромба $A$, а именно угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$. Вспомним важное свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам. Тогда весь угол $A$ равен:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 62^{\circ} = 124^{\circ}$.

4) Мы нашли один из углов ромба. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, найдём второй угол (угол $B$):
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$.

5) Сравнив полученные углы ($124^{\circ}$ и $56^{\circ}$), мы видим, что острым углом ромба является угол, равный $56^{\circ}$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ