Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи трапеция $A B C D$ является равнобедренной. Одно из главных свойств равнобедренной трапеции заключается в том, что углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при основании $A D$ равен углу при основании $D$:
$\angle B A D = \angle D = 50^{\circ}$.

2) Нам известно, что луч $A C$ является биссектрисой угла $B A D$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle C A D = \frac{1}{2} \cdot \angle B A D = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ}$.

3) В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$ (так как это односторонние углы при параллельных прямых $B C$ и $A D$ и секущей $C D$). Найдём угол $B C D$:
$\angle B C D = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$.

4) Теперь рассмотрим параллельные основания трапеции $B C$ и $A D$ и секущую $A C$. Углы $B C A$ и $C A D$ являются накрест лежащими, а значит, они равны:
$\angle B C A = \angle C A D = 25^{\circ}$.

5) Искомый угол $A C D$ является частью угла $B C D$. Чтобы найти его величину, нужно из всего угла $B C D$ вычесть его часть $\angle B C A$:
$\angle A C D = \angle B C D - \angle B C A = 130^{\circ} - 25^{\circ} = 105^{\circ}$.

Ответ: 105

Источник: ФИПИ