Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что высота проведена ближе к правому углу, значит, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 7$.

2) Длина всего большего основания $AD$ равна сумме этих отрезков:
$AD = AH + HD = 7 + 3 = 10$.

3) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут от большего основания два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Следовательно, отрезки, прилежащие к углам при основании, будут равны: $AK = HD = 3$.

4) Отрезок $KH$, лежащий между основаниями высот, равен меньшему основанию $BC$, так как $KBCH$ — прямоугольник. Тогда длину этого отрезка можно найти, вычтя из всего основания $AD$ два равных боковых отрезка $AK$ и $HD$:
$BC = KH = AD - AK - HD$
$BC = 10 - 3 - 3 = 4$.

Также можно рассуждать иначе: так как $AH = 7$ и $AK = 3$, то отрезок $KH = AH - AK = 7 - 3 = 4$. Поскольку $BC = KH$, то меньшее основание равно $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ