Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. По условию задачи эта высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что высота проведена ближе к правому углу, значит, меньший отрезок $HD = 2$, а больший отрезок $AH = 5$.

2. Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Следовательно, отрезки, «отсекаемые» высотами у углов при основании, равны: $AK = HD$.

3. Так как $AK = HD = 2$, мы можем найти длину центрального отрезка $KH$. Весь отрезок $AH$ состоит из суммы $AK + KH$. Подставим известные значения:
$5 = 2 + KH$, откуда $KH = 5 - 2 = 3$.

4. Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ