Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 3$ и $AD = 10$. Проведём диагональ $AC$, которая по условию образует с нижним основанием угол $\angle CAD = 45^\circ$. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$.

1) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — их полуразности.
Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 3}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота).
В этом треугольнике нам известен острый угол $\angle CAH = 45^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, второй острый угол треугольника равен:
$\angle ACH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

3) Так как в треугольнике $ACH$ два угла равны ($\angle CAH = \angle ACH = 45^\circ$), то этот треугольник является равнобедренным.
Следовательно, его катеты равны:
$CH = AH$.

4) Подставим найденное ранее значение $AH$:
$CH = 6,5$.

Таким образом, высота трапеции равна $6,5$.

Ответ: 6,5

Источник: ФИПИ