Задание 17

Четырёхугольники и многоугольники · 357 заданий

Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Сторона квадрата равна 11 √(2). Найдите диагональ этого квадрата.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники

Задание №17 — Геометрия

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен . Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Правильный ответ

120

Пояснение

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$ . Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $\frac{8}{17}$ . Пусть это будет угол $\angle CAD$ , тогда $\sin \angle CAD = \frac{8}{17}$ .

2) Известно, что около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а сама диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности. По условию диаметр равен $17$ , следовательно, диагональ $AC = 17$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$ ). По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$ .
Подставим известные значения:
$\frac{8}{17} = \frac{CD}{17}$ .
Отсюда находим сторону $CD$ :
$CD = 17 \cdot \frac{8}{17} = 8$ .

4) Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AD$ . Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ACD$ :
$AD^2 + CD^2 = AC^2$ .
$AD^2 + 8^2 = 17^2$ .
$AD^2 + 64 = 289$ .
$AD^2 = 289 - 64 = 225$ .
$AD = \sqrt{225} = 15$ .

5) Площадь прямоугольника $S$ находится как произведение его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD$ .
$S = 15 \cdot 8 = 120$ .

Ответ: 120

Источник: ФИПИ