Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$. Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $\frac{8}{17}$. Пусть это будет угол $\angle CAD$, тогда $\sin \angle CAD = \frac{8}{17}$.

2) Известно, что около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а сама диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности. По условию диаметр равен $17$, следовательно, диагональ $AC = 17$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$). По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{8}{17} = \frac{CD}{17}$.
Отсюда находим сторону $CD$:
$CD = 17 \cdot \frac{8}{17} = 8$.

4) Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AD$. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ACD$:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$.
$AD^2 + 8^2 = 17^2$.
$AD^2 + 64 = 289$.
$AD^2 = 289 - 64 = 225$.
$AD = \sqrt{225} = 15$.

5) Площадь прямоугольника $S$ находится как произведение его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD$.
$S = 15 \cdot 8 = 120$.

Ответ: 120

Источник: ФИПИ