Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Все углы квадрата прямые, то есть $\angle D = 90^\circ$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$. Это означает, что отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию радиус $R = 3 \sqrt{5}$, значит, $O A = 3 \sqrt{5}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ (угол $D$ прямой). В этом треугольнике $A D$ и $D O$ — катеты, а $O A$ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора: $A D^2 + D O^2 = O A^2$.

5. Подставим известные значения и выражения через $a$ в формулу: $a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = (3 \sqrt{5})^2$.

6. Выполним возведение в степень: $a^2 + \frac{a^2}{4} = 9 \cdot 5$, $a^2 + \frac{a^2}{4} = 45$.

7. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{4 a^2 + a^2}{4} = 45$, $\frac{5 a^2}{4} = 45$.

8. Выразим $a^2$: $5 a^2 = 45 \cdot 4$, $5 a^2 = 180$, $a^2 = \frac{180}{5}$, $a^2 = 36$.

9. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли, что $a^2 = 36$. Следовательно, площадь квадрата $A B C D$ равна $36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ