Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи нам дана равнобедренная трапеция $A B C D$. Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: углы при каждом основании равны. Это значит, что угол при большем основании $A$ равен углу $D$:
$\angle A = \angle D = 61^{\circ}$.

2) Угол $A$ трапеции состоит из двух частей: угла $B A C$ (между боковой стороной и диагональю) и угла $C A D$ (между диагональю и большим основанием). По условию $\angle B A C = 23^{\circ}$. Мы можем найти угол $C A D$:
$\angle C A D = \angle A - \angle B A C = 61^{\circ} - 23^{\circ} = 38^{\circ}$.

3) Основания трапеции $B C$ и $A D$ параллельны. Диагональ $A C$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Следовательно, угол между диагональю и меньшим основанием ($\angle B C A$) равен углу между диагональю и большим основанием ($\angle C A D$):
$\angle B C A = \angle C A D = 38^{\circ}$.

Таким образом, искомый угол составляет $38^{\circ}$.

Ответ: 38

Источник: ФИПИ