Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что высота проведена ближе к правому углу, значит, меньший отрезок $HD = 4$, а больший отрезок $AH = 8$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Следовательно, отрезки, прилежащие к углам при основании, будут равны: $AK = HD = 4$.

3) Отрезок $KH$, лежащий между основаниями высот, вместе с меньшим основанием $BC$ образует прямоугольник $KBCH$. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, $BC = KH$.

4) Теперь найдём длину отрезка $KH$. Мы знаем, что весь отрезок $AH$ равен $8$, и он состоит из суммы отрезков $AK$ и $KH$:
$AH = AK + KH$.
Подставим известные значения:
$8 = 4 + KH$.
Отсюда $KH = 8 - 4 = 4$.

5) Так как $BC = KH$, то меньшее основание трапеции равно $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ