Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть дан ромб $ABCD$, в котором тупой угол равен $130^\circ$. Обозначим $\angle ABC = 130^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:
$\angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. Проведём большую диагональ $AC$. Она делит угол $BAD$ пополам:
$\angle DAC = \angle BAC = 50^\circ : 2 = 25^\circ$.

3) Из вершины тупого угла (пусть это будет вершина $B$) проведём высоту $BH$ к стороне $AD$. Нам необходимо найти угол между этой высотой и большей диагональю $AC$. Обозначим точку пересечения высоты $BH$ и диагонали $AC$ как точку $M$. Искомый угол — $\angle AMH$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$, где $\angle AHM = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота). В этом треугольнике нам известен острый угол $\angle MAH$ (это тот же угол $\angle DAC$), который равен $25^\circ$.

5) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle AMH$ равен:
$\angle AMH = 90^\circ - \angle MAH = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Ответ: 65

Источник: ФИПИ